《复变函数》课程标准
适用专业：机电一体化技术
开设学期：第一学年 第2 学期
学时：32 学分：2
一、本课程的地位和作用
复变函数论是数学各专业的一门重要基础课，也是高等数学的一门后继课程。本课程用分析的、几何的、代数的等方法研究复变量的解析函数的有关问题，已经形成了十分丰富、系统、完美、和谐的理论体系，其理论和方法已经渗入到纯粹数学和应用数学的各个分支，同时在流体力学、空气动力学、弹性力学、电磁学、热学、电工及通讯等方面都有着极其重要的应用。另外，还可以利用复变函数论知识解决中学数学中的问题。学习复变函数论这门课程，可以使学生获得必要的数学知识修养，提高数学素质，锻炼逻辑思维和复杂的计算能力，并为学生学习后继课程打下良好的基础。
二、本课程的教学目标
通过讲授本课程，使学生获得：（1）复变函数的积分理论；（2）复变函数的级数理论；（3）复变函数的几何理论等方面的基本概念、基本理论和基本方法。认识到高等数学对初等数学的指导作用；认识到一些不同数学分支之间的内在联系和互相影响。培养学生的运算能力，抽象思维能力和逻辑推理能力。
三、课程内容和基本要求
（一）复数与复变函数
1．教学基本要求
（1）详细介绍引进复数的过程以及复数在整个数学发展过程中所起的重要作用；
（2）熟练掌握复数的三种形式的表示法，复数的代数运算。
（3）掌握用复数解决几何问题的思想和方法。
（4）了解复平面上点集的几个概念，能用复数方程或不等式表示常见的区域和曲线。
（5）能精确叙述复变函数的极限与连续的概念，掌握其基本性质。
（6）了解引进扩充复平面的思想和方法。
2．教学内容
（1）*复数及其运算。复平面。
（2）*复数的模与辐角。
（3）△复数的乘幂与方根。
（4）*复数在几何中的应用。
（5）复平面上点集的几个概念。*区域，曲线，约当定理。
（6）*复变函数的概念，极限与连续性。
（7）扩充复平面与复球面。
（二）解析函数
1．教学基本要求
（1）要求学生深刻理解复解析函数的概念以及可导的定义，弄清这两概念之间的联系与区别。
（2）牢固掌握Cauchy-Riemann方程、复值函数可微与解析的等价刻画，以及充分条件和必要条件，并能利用这些结论判定函数的可微性与解析性。
（3）熟练掌握和运用解析函数的求导法则和求导公式。
（4）牢固掌握二类初等解析函数（即指数函数与三角函数）的定义、基本性质及其相互关系。
（5）介绍初等多值函数的概念以及它们的性质，了解其多值性。
2．教学内容
（1）复变函数的导数与微分。
（2）*△解析函数的概念与基本性质。
（3）*Cauchy-Riemann方程与Cauchy-Riemann条件。
（4）解析函数的求导公式与求导法则。
（5）*复变函数的可微性与解析性的等价刻画、充分条件与必要条件。
（6）初等解析函数：指数函数，三角函数。
（7）初等多值函数：根式函数，对数函数。
（三）复变函数的积分
1．教学基本要求
（1）掌握沿有向曲线上复变函数积分的概念与基本性质，计算方法以及复变函数积分与二元实变函数的第二型线积分的联系。
（2）解析函数的Cauchy积分定理是本章的核心。要求学生熟练掌握和运用Cauchy积分定理，柯西积分公式和高阶导数分式。
（3）理解解析函数在单连通区域内的不定积分的概念。
（4）掌握Cauchy不等式，Liouville定理，Morera定理以及用Loiuville定理证明代数学基本定理。
（5）了解调和函数的概念以及解析函数与调和函数的关系。
2．教学内容
（1）复变函数积分的定义及其基本性质与计算。
（2）*单连通区域内的Cauchy积分定理。
（3）△不定积分。
（4）多连通区域内的Cauchy积分定理。
（5）*Cauchy积分公式。*解析函数的无穷可微性定理。高阶导数公式。
（6）Cauchy不等式。Liourille定理。代数学基本定理的证明。Morera定理。
（7）调和函数的概念。解析函数与调和函数的关系。
（四）解析函数的级数表示法
1．教学基本要求
（1）理解复函数项级数的概念。
（2）掌握一致收敛性的判别法。
（3）掌握幂级数的基本性质（敛散性、解析性），会利用公式求简单幂级数的收敛半径。
（4）牢记常用初等解析函数的幂级数展开式，并能熟练运用。
（5）了解解析函数的零点孤立性定理，解析函数的唯一性定理。
（6）理解双边幂级数的概念。
（7）能求出较简单的解析函数的Laurent展式。
（8）掌握解析函数的三种类型奇点的定义、特征以及判别方法。
（9）了解解析函数在无穷远点的性质。
（10）了解整函数及亚纯函数的概念。
2．教学内容
（1）复数项级数的概念及其收敛性判别准则。
（2）复函数项级数的概念，收敛、一致收敛性的概念及其判断准则。
（3）幂级数的收敛状况，收敛圆、收敛半径以及幂级数和函数的解析性。
（4）解析函数在一点邻域内或区域内的泰勒展式。
（5）初等解析函数的泰勒展式。
（6）解析函数的零点孤立性定理、唯一性定理。
（7）双边幂级数的概念。
（8）解析函数的Laurent展式。
（9）解析函三种类型的孤立奇点（即可去奇点、极点、本性奇点）的定义、判别方法及其特征性质。
（10）整函数及亚纯函数的概念。
（五）残数理论及其应用
1．教学基本要求
（1）掌握残数的概念，深刻理解残数定理。
（2）熟练掌握残数的计算方法。
（3）了解应用残数定理计算实积分的方法（前两种）。
（4）了解辐角原理、Rouche定理。
2．教学内容
（1）*残数的定义。残数定理。
（2）*△残数的计算（含无穷点处的残数的计算）。
（3）前两种类型实积分的计算。
（4）辐角原理，儒歇定理。
注：按全国自然科学名词审定委员会1993年颁布的数学名词，“残数”应为“留数”。
（六）保形变换（本章仅供学员了解内容，不作其它要求）
1．教学基本要求
（1）了解导数的模与辐角的几何意义，理解解析变换的特性——保域性与保角性。
（2）了解线性变换（也称为Mobius变换或分式线性变换）的特性。
（3）了解黎曼映射定理，边界对应定理。
2．教学内容
（1）导数的几何意义。保形变换的概念。
（2）线性变换及其应用。
（3）某些初等函数所构成的保形变换。
（4）黎曼存在定理。边界对应定理。
四、学时分配
序号 |
|
讲 课 |
习 题 |
小 计 |
一 |
复数与复变函数 |
4 |
2 |
6 |
二 |
解析函数 |
4 |
2 |
6 |
三 |
复变函数的积分 |
4 |
2 |
6 |
四 |
解析函数的级数表示 |
4 |
2 |
6 |
五 |
残数理论及其应用 |
4 |
2 |
6 |
六 |
保形变换 |
2 |
0 |
2 |
|
总 计 |
22 |
10 |
32 |
五、教学方法的建议
1．在讲授复变函数论这门课程过程中，应注意与数学分析中的相应知识作比较，注意两者之间的异同。对于化为实的情形去处理的问题以及与实的情形类似的部分可以指导学生自己去完成学习。
2．讲授本课程时，注意尽可能用新观念与新方法处理老问题。
3．讲授本课程采用详细讲授与讲座式讲授相结合的办法。如对只要求学业员了解的内容，如初等多值函数，整函数与亚纯函数，保形变换等部分，就宜采用讲座式讲授。
六、主要教材及参考书
1．主要教材：《复变函数》（师范专科学校试用教材），钟玉泉编，高等教育出版社。
2．参考书：
（1）复变函数学习指导书，钟玉泉编，高等教育出版社。
（2）复变函数、积分变换 李建林编，西北工业大学出版社。
（3）复变函数，李庆忠主编，科学出版社。
（4）复变函数论，张锦豪等编，高等教育出版社，施普林格出版社。
3．课程考核与评价
教学评价表
评价内容 |
权重 |
常规评价 |
出勤与课堂表现 |
20% |
项目评价 |
作业 |
40% |
期末考核 |
40% |
合计 |
100% |
